Ratkaise x^2-76x=-68

$$x ^ { 2 } - 76 x = - 68$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4\sqrt{86}+38\approx 75,094473982$$

$$x=38-4\sqrt{86}\approx 0,905526018$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-76x=-68$$

Lisää 68 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-76x-\left(-68\right)=-68-\left(-68\right)$$

Kun luku -68 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-76x-\left(-68\right)=0$$

Vähennä -68 luvusta 0.

$$x^{2}-76x+68=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -76 ja c luvulla 68 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 68}}{2}$$

Korota -76 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 68}}{2}$$

Kerro -4 ja 68.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-272}}{2}$$

Lisää 5776 lukuun -272.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5504}}{2}$$

Ota luvun 5504 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±8\sqrt{86}}{2}$$

Luvun -76 vastaluku on 76.

$$x=\frac{76±8\sqrt{86}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{76±8\sqrt{86}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 76 lukuun 8\sqrt{86}.

$$x=\frac{8\sqrt{86}+76}{2}$$

Jaa 76+8\sqrt{86} luvulla 2.

$$x=4\sqrt{86}+38$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{76±8\sqrt{86}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{86} luvusta 76.

$$x=\frac{76-8\sqrt{86}}{2}$$

Jaa 76-8\sqrt{86} luvulla 2.

$$x=38-4\sqrt{86}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4\sqrt{86}+38 x=38-4\sqrt{86}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-76x=-68$$

Jaa -76 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -38. Lisää sitten -38:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-76x+\left(-38\right)^{2}=-68+\left(-38\right)^{2}$$

Korota -38 neliöön.

$$x^{2}-76x+1444=-68+1444$$

Lisää -68 lukuun 1444.

$$x^{2}-76x+1444=1376$$

Jaa x^{2}-76x+1444 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-38\right)^{2}=1376$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-38\right)^{2}}=\sqrt{1376}$$

Sievennä.

$$x-38=4\sqrt{86} x-38=-4\sqrt{86}$$

Lisää 38 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4\sqrt{86}+38 x=38-4\sqrt{86}$$