Ratkaise x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=10$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-7x-30 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-10 b=3$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-10=0 ja x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-10 b=3$$

Kirjoita \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right) uudelleen muodossa x^{2}-7x-30.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-10 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-10=0 ja x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -7 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Lisää 49 lukuun 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±13}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Jaa 20 luvulla 2.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±13}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Kun luku -30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Vähennä -30 luvusta 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Lisää 30 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=-3$$