Ratkaise x^2-6x-3=0

$$x ^ { 2 } - 6 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{3}+3\approx 6,464101615$$

$$x=3-2\sqrt{3}\approx -0,464101615$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-6x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-3\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{48}}{2}$$

Ota luvun 48 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}+6}{2}$$

Jaa 6+4\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=2\sqrt{3}+3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{3} luvusta 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 6-4\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=3-2\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{3}+3 x=3-2\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$x^{2}-6x=3$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=3+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=3+9$$

Lisää 3 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=12$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=12$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{12}$$

Sievennä.

$$x-3=2\sqrt{3} x-3=-2\sqrt{3}$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{3}+3 x=3-2\sqrt{3}$$