Ratkaise x^2-6x+9=20

$$x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 20$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{5}+3\approx 7,472135955$$

$$x=3-2\sqrt{5}\approx -1,472135955$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-6x+9=20$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-6x+9-20=20-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-6x+9-20=0$$

Vähennä 20 luvusta 9.

$$x^{2}-6x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+44}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Ota luvun 80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+6}{2}$$

Jaa 6+4\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=2\sqrt{5}+3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{5} luvusta 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{5}}{2}$$

Jaa 6-4\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=3-2\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{5}+3 x=3-2\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+9=20$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=20$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Sievennä.

$$x-3=2\sqrt{5} x-3=-2\sqrt{5}$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{5}+3 x=3-2\sqrt{5}$$