Ratkaise x^2-6x+2>0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$x^{2}-6x+2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -6 tilalle b ja muuttujan 2 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\left(\sqrt{7}+3\right) ja x-\left(3-\sqrt{7}\right) on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{7}+3\right) ja x-\left(3-\sqrt{7}\right) ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{7}+3\right) ja x-\left(3-\sqrt{7}\right) ovat molemmat positiivisia.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$