Ratkaise x^2-5x-10=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{2} \approx 6,531128874$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}\approx -1,531128874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -5 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2}$$

Lisää 25 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{65} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$x^{2}-5x=10$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=10+\frac{25}{4}$$

Lisää 10 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{65}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$