Ratkaise x^2-4x+5=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+i$$

$$x=2-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5}}{2}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-4}}{2}$$

Ota luvun -4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2i}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i.

$$x=\frac{4+2i}{2}$$

Jaa 4+2i luvulla 2.

$$x=2+i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i luvusta 4.

$$x=\frac{4-2i}{2}$$

Jaa 4-2i luvulla 2.

$$x=2-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2+i x=2-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=-5$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-5+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-5+4$$

Lisää -5 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-1$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x-2=i x-2=-i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+i x=2-i$$