Ratkaise x^2-4(x^2+x+2)=3x^2+4x+4

$$x ^ { 2 } - 4 ( x ^ { 2 } + x + 2 ) = 3 x ^ { 2 } + 4 x + 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{14}i}{3}\approx -0,666666667+1,247219129i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-2}{3}\approx -0,666666667-1,247219129i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen -4 ja x^{2}+x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-4x^{2}-4x-8=3x^{2}+4x+4$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$-3x^{2}-4x-8=3x^{2}+4x+4$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-4x-8-3x^{2}=4x+4$$

Selvitä -6x^{2} yhdistämällä -3x^{2} ja -3x^{2}.

$$-6x^{2}-4x-8=4x+4$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}-4x-8-4x=4$$

Selvitä -8x yhdistämällä -4x ja -4x.

$$-6x^{2}-8x-8=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}-8x-8-4=0$$

Vähennä 4 luvusta -8 saadaksesi tuloksen -12.

$$-6x^{2}-8x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla -8 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-6\right)\left(-12\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-6\right)\left(-12\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+24\left(-12\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 24 ja -12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-288}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 64 lukuun -288.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-224}}{2\left(-6\right)}$$

Ota luvun -224 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{14}i}{2\left(-6\right)}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{14}i}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{8±4\sqrt{14}i}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{14}i}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 4i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+4\sqrt{14}i}{-12}$$

Jaa 8+4i\sqrt{14} luvulla -12.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{14}i}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{14} luvusta 8.

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i+8}{-12}$$

Jaa 8-4i\sqrt{14} luvulla -12.

$$x=\frac{-2+\sqrt{14}i}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-2}{3} x=\frac{-2+\sqrt{14}i}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen -4 ja x^{2}+x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-4x^{2}-4x-8=3x^{2}+4x+4$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$-3x^{2}-4x-8=3x^{2}+4x+4$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-4x-8-3x^{2}=4x+4$$

Selvitä -6x^{2} yhdistämällä -3x^{2} ja -3x^{2}.

$$-6x^{2}-4x-8=4x+4$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}-4x-8-4x=4$$

Selvitä -8x yhdistämällä -4x ja -4x.

$$-6x^{2}-8x-8=4$$

Lisää 8 molemmille puolille.

$$-6x^{2}-8x=4+8$$

Selvitä 12 laskemalla yhteen 4 ja 8.

$$-6x^{2}-8x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}-8x}{-6}=\frac{12}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-6}\right)x=\frac{12}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{-6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{-6}$$

Jaa 12 luvulla -6.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-2$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-2+\frac{4}{9}$$

Lisää -2 lukuun \frac{4}{9}.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{14}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{14}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{14}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{14}i}{3}$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{14}i}{3} x=\frac{-\sqrt{14}i-2}{3}$$