Ratkaise x^2-3x-108?

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 ?$$

Jaa tekijöihin

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa x^{2}+ax+bx-108. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-12 b=9$$

Kirjoita \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right) uudelleen muodossa x^{2}-3x-108.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 9 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-12 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±21}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±21}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Jaa -18 luvulla 2.

$$x=-9$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 12 kohteella x_{1} ja -9 kohteella x_{2}.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x-\left(-9\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Laske

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$