Ratkaise x^2-3x-1/3=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}\approx 3,107275127$$

$$x=-\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}\approx -0,107275127$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-3x-\frac{1}{3}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla -\frac{1}{3} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+\frac{4}{3}}}{2}$$

Lisää 9 lukuun \frac{4}{3}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\frac{31}{3}}}{2}$$

Ota luvun \frac{31}{3} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \frac{\sqrt{93}}{3}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{93}}{3}+3}{2}$$

Jaa 3+\frac{\sqrt{93}}{3} luvulla 2.

$$x=\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{93}}{3} luvusta 3.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{93}}{3}+3}{2}$$

Jaa 3-\frac{\sqrt{93}}{3} luvulla 2.

$$x=-\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-\frac{1}{3}=0$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-3x-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=-\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Kun luku -\frac{1}{3} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Vähennä -\frac{1}{3} luvusta 0.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{3}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{3}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{31}{12}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{31}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{12}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{93}}{6} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{93}}{6}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{93}}{6}+\frac{3}{2}$$