Ratkaise x^2-23x-2.100=0

$$x ^ { 2 } - 23 x - 2.100 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{13435}}{10}+11,5\approx 23,090944741$$

$$x=-\frac{\sqrt{13435}}{10}+11,5\approx -0,090944741$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-23x-2,1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -23 ja c luvulla -2,1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\left(-2,1\right)}}{2}$$

Korota -23 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\left(-2,1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2,1.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+8,4}}{2}$$

Lisää 529 lukuun 8,4.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{537,4}}{2}$$

Ota luvun 537,4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\frac{\sqrt{13435}}{5}}{2}$$

Luvun -23 vastaluku on 23.

$$x=\frac{23±\frac{\sqrt{13435}}{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±\frac{\sqrt{13435}}{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 23 lukuun \frac{\sqrt{13435}}{5}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{13435}}{5}+23}{2}$$

Jaa 23+\frac{\sqrt{13435}}{5} luvulla 2.

$$x=\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±\frac{\sqrt{13435}}{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{13435}}{5} luvusta 23.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{13435}}{5}+23}{2}$$

Jaa 23-\frac{\sqrt{13435}}{5} luvulla 2.

$$x=-\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2} x=-\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x-2.1=0$$

Lisää 2.1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-23x-2.1-\left(-2.1\right)=-\left(-2.1\right)$$

Kun luku -2.1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-23x=-\left(-2.1\right)$$

Vähennä -2.1 luvusta 0.

$$x^{2}-23x=2.1$$

Jaa -23 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{2}. Lisää sitten -\frac{23}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=2.1+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=2.1+\frac{529}{4}$$

Lisää 2.1 lukuun \frac{529}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{2687}{20}$$

Jaa x^{2}-23x+\frac{529}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{2687}{20}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2687}{20}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{\sqrt{13435}}{10} x-\frac{23}{2}=-\frac{\sqrt{13435}}{10}$$

Lisää \frac{23}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2} x=-\frac{\sqrt{13435}}{10}+\frac{23}{2}$$