Ratkaise x^2-23x+136=0

$$x ^ { 2 } - 23 x + 136 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{23+\sqrt{15}i}{2}\approx 11,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+23}{2}\approx 11,5-1,936491673i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-23x+136=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -23 ja c luvulla 136 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 136}}{2}$$

Korota -23 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 136}}{2}$$

Kerro -4 ja 136.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-544}}{2}$$

Lisää 529 lukuun -544.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{-15}}{2}$$

Ota luvun -15 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{15}i}{2}$$

Luvun -23 vastaluku on 23.

$$x=\frac{23±\sqrt{15}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±\sqrt{15}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 23 lukuun i\sqrt{15}.

$$x=\frac{23+\sqrt{15}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±\sqrt{15}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{15} luvusta 23.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+23}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{23+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i+23}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x+136=0$$

Vähennä 136 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-23x+136-136=-136$$

Kun luku 136 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-23x=-136$$

Jaa -23 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{2}. Lisää sitten -\frac{23}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-136+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-136+\frac{529}{4}$$

Lisää -136 lukuun \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-\frac{15}{4}$$

Jaa x^{2}-23x+\frac{529}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Lisää \frac{23}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{23+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i+23}{2}$$