Ratkaise x^2-23*x+132=0

$$x ^ { 2 } - 23 \cdot x + 132 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=11$$

$$x=12$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin x^{2}-23x+132 käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-23 ab=132$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -23.

$$a=-12 b=-11$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja x-11=0.

$$x=12 x=11$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+132. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-23 ab=1\times 132=132$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -23.

$$a=-12 b=-11$$

Kirjoita \left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right) uudelleen muodossa x^{2}-23x+132.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -11.

$$x\left(x-12\right)-11\left(x-12\right)$$

Jaa yleinen termi x-12 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja x-11=0.

$$x=12 x=11$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-23x+132=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -23 ja c luvulla 132 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 132}}{2}$$

Korota -23 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 132}}{2}$$

Kerro -4 ja 132.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-528}}{2}$$

Lisää 529 lukuun -528.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±1}{2}$$

Luvun -23 vastaluku on 23.

$$x=\frac{23±1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±1}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 23 lukuun 1.

$$x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±1}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 23.

$$x=\frac{22}{2}$$

Jaa 22 luvulla 2.

$$x=11$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=12 x=11$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x+132=0$$

Vähennä 132 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-23x+132-132=-132$$

Kun luku 132 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-23x=-132$$

Jaa -23 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{2}. Lisää sitten -\frac{23}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-132+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-132+\frac{529}{4}$$

Lisää -132 lukuun \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}-23x+\frac{529}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{1}{2}$$

Lisää \frac{23}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12 x=11$$