Ratkaise x^2-2x-9=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{10}+1\approx 4,16227766$$

$$x=1-\sqrt{10}\approx -2,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+36}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40}}{2}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{2}$$

Jaa 2+2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=\sqrt{10}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{2}$$

Jaa 2-2\sqrt{10} luvulla 2.

$$x=1-\sqrt{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$x^{2}-2x=9$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=9+1$$

Lisää 9 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=10$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{10} x-1=-\sqrt{10}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$