Ratkaise x^2-2x-3=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=3$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-2x-3 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-2 ab=-3$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-3 b=1$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-3=0 ja x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-3 b=1$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right) uudelleen muodossa x^{2}-2x-3.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-3=0 ja x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 4.

$$x=\frac{6}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 2.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$x^{2}-2x=3$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Lisää 3 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-1$$