Ratkaise x^2-2x-2=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Jaa 2+2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2-2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-2x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$x^{2}-2x=2$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=2+1$$

Lisää 2 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=3$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{3} x-1=-\sqrt{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$