Ratkaise x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -2 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x-\left(\sqrt{2}+1\right) ja x-\left(1-\sqrt{2}\right) on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 ja x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 ja x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$