Ratkaise x^2-2x+4=0

$$x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4}}{2}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2}$$

Lisää 4 lukuun -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2}$$

Ota luvun -12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2}$$

Jaa 2+2i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=1+\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{2}$$

Jaa 2-2i\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{3}i+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-4$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-4+1$$

Lisää -4 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-3$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{3}i x-1=-\sqrt{3}i$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$