Ratkaise x^2-2x+1/4=0

$$x ^ { 2 } - 2 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+1\approx 1,866025404$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1\approx 0,133974596$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla \frac{1}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{1}{4}}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{1}{4}}}{2}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-1}}{2}$$

Lisää 4 lukuun -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun \sqrt{3}.

$$x=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$$

Jaa 2+\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2-\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Kun luku \frac{1}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{4}+1$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$$