Ratkaise x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1,732050808+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1,732050808-2,236067977i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2\sqrt{3} ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Korota -2\sqrt{3} neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

Lisää 12 lukuun -32.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Ota luvun -20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Luvun -2\sqrt{3} vastaluku on 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2\sqrt{3} lukuun 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

Jaa 2\sqrt{3}+2i\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{5} luvusta 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2\sqrt{3}-2i\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

Jaa -2\sqrt{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\sqrt{3}. Lisää sitten -\sqrt{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Korota -\sqrt{3} neliöön.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

Lisää -8 lukuun 3.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

Jaa x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Sievennä.

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

Lisää \sqrt{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$