Ratkaise x^2-2*x-11=0

$$x ^ { 2 } - 2 \cdot x - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{3}+1\approx 4,464101615$$

$$x=1-2\sqrt{3}\approx -2,464101615$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+44}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{48}}{2}$$

Ota luvun 48 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}+2}{2}$$

Jaa 2+4\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=2\sqrt{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2-4\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=1-2\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{3}+1 x=1-2\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-2x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-2x=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$x^{2}-2x=11$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=11+1$$

Lisää 11 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=12$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=12$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{12}$$

Sievennä.

$$x-1=2\sqrt{3} x-1=-2\sqrt{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{3}+1 x=1-2\sqrt{3}$$