Ratkaise x^2-18x-18=-7

$$x ^ { 2 } - 18 x - 18 = - 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{23}+9\approx 18,591663047$$

$$x=9-2\sqrt{23}\approx -0,591663047$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-18x-18=-7$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-18x-18-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-18x-18-\left(-7\right)=0$$

Vähennä -7 luvusta -18.

$$x^{2}-18x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -18 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+44}}{2}$$

Lisää 324 lukuun 44.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{368}}{2}$$

Ota luvun 368 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±4\sqrt{23}}{2}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±4\sqrt{23}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±4\sqrt{23}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 4\sqrt{23}.

$$x=\frac{4\sqrt{23}+18}{2}$$

Jaa 18+4\sqrt{23} luvulla 2.

$$x=2\sqrt{23}+9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±4\sqrt{23}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{23} luvusta 18.

$$x=\frac{18-4\sqrt{23}}{2}$$

Jaa 18-4\sqrt{23} luvulla 2.

$$x=9-2\sqrt{23}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{23}+9 x=9-2\sqrt{23}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x-18=-7$$

Lisää 18 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-18x-18-\left(-18\right)=-7-\left(-18\right)$$

Kun luku -18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-18x=-7-\left(-18\right)$$

Vähennä -18 luvusta -7.

$$x^{2}-18x=11$$

Jaa -18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -9. Lisää sitten -9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=11+\left(-9\right)^{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x^{2}-18x+81=11+81$$

Lisää 11 lukuun 81.

$$x^{2}-18x+81=92$$

Jaa x^{2}-18x+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=92$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{92}$$

Sievennä.

$$x-9=2\sqrt{23} x-9=-2\sqrt{23}$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{23}+9 x=9-2\sqrt{23}$$