Ratkaise x^2-16x+57=0

$$x ^ { 2 } - 16 x + 57 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{7}+8\approx 10,645751311$$

$$x=8-\sqrt{7}\approx 5,354248689$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-16x+57=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -16 ja c luvulla 57 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 57}}{2}$$

Korota -16 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 57}}{2}$$

Kerro -4 ja 57.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-228}}{2}$$

Lisää 256 lukuun -228.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{28}}{2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{7}}{2}$$

Luvun -16 vastaluku on 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 16 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+16}{2}$$

Jaa 16+2\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=\sqrt{7}+8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{7}}{2}$$

Jaa 16-2\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=8-\sqrt{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{7}+8 x=8-\sqrt{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x+57=0$$

Vähennä 57 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-16x+57-57=-57$$

Kun luku 57 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-16x=-57$$

Jaa -16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -8. Lisää sitten -8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-57+\left(-8\right)^{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x^{2}-16x+64=-57+64$$

Lisää -57 lukuun 64.

$$x^{2}-16x+64=7$$

Jaa x^{2}-16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$x-8=\sqrt{7} x-8=-\sqrt{7}$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{7}+8 x=8-\sqrt{7}$$