Ratkaise x^2-15000x+50000=0

$$x ^ { 2 } - 15000 x + 50000 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=200\sqrt{1405}+7500\approx 14996,665925597$$

$$x=7500-200\sqrt{1405}\approx 3,334074403$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-15000x+50000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -15000 ja c luvulla 50000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15000\right)±\sqrt{\left(-15000\right)^{2}-4\times 50000}}{2}$$

Korota -15000 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15000\right)±\sqrt{225000000-4\times 50000}}{2}$$

Kerro -4 ja 50000.

$$x=\frac{-\left(-15000\right)±\sqrt{225000000-200000}}{2}$$

Lisää 225000000 lukuun -200000.

$$x=\frac{-\left(-15000\right)±\sqrt{224800000}}{2}$$

Ota luvun 224800000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15000\right)±400\sqrt{1405}}{2}$$

Luvun -15000 vastaluku on 15000.

$$x=\frac{15000±400\sqrt{1405}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15000±400\sqrt{1405}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15000 lukuun 400\sqrt{1405}.

$$x=\frac{400\sqrt{1405}+15000}{2}$$

Jaa 15000+400\sqrt{1405} luvulla 2.

$$x=200\sqrt{1405}+7500$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15000±400\sqrt{1405}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 400\sqrt{1405} luvusta 15000.

$$x=\frac{15000-400\sqrt{1405}}{2}$$

Jaa 15000-400\sqrt{1405} luvulla 2.

$$x=7500-200\sqrt{1405}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=200\sqrt{1405}+7500 x=7500-200\sqrt{1405}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15000x+50000=0$$

Vähennä 50000 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-15000x+50000-50000=-50000$$

Kun luku 50000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-15000x=-50000$$

Jaa -15000 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7500. Lisää sitten -7500:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15000x+\left(-7500\right)^{2}=-50000+\left(-7500\right)^{2}$$

Korota -7500 neliöön.

$$x^{2}-15000x+56250000=-50000+56250000$$

Lisää -50000 lukuun 56250000.

$$x^{2}-15000x+56250000=56200000$$

Jaa x^{2}-15000x+56250000 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7500\right)^{2}=56200000$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7500\right)^{2}}=\sqrt{56200000}$$

Sievennä.

$$x-7500=200\sqrt{1405} x-7500=-200\sqrt{1405}$$

Lisää 7500 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=200\sqrt{1405}+7500 x=7500-200\sqrt{1405}$$