Ratkaise x^2-15x+6=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{201} + 15}{2} \approx 14,588723439$$

$$x=\frac{15-\sqrt{201}}{2}\approx 0,411276561$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-15x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -15 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6}}{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6}}{2}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24}}{2}$$

Lisää 225 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{201}}{2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{201}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{201}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \sqrt{201}.

$$x=\frac{\sqrt{201}+15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{201}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{201} luvusta 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{201}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{201}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{201}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-15x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-15x=-6$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-6+\frac{225}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{201}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{201}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{201}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{201}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{201}}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{201}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{201}}{2}$$