Ratkaise x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7,5+6,614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7,5-6,614378278i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -15 ja c luvulla 100 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

Kerro -4 ja 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

Lisää 225 lukuun -400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

Ota luvun -175 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5i\sqrt{7} luvusta 15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Vähennä 100 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

Kun luku 100 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

Lisää -100 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$