Ratkaise x^2-14x-4=0

$$x ^ { 2 } - 14 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{53}+7\approx 14,280109889$$

$$x=7-\sqrt{53}\approx -0,280109889$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-14x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -14 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-4\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+16}}{2}$$

Lisää 196 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{212}}{2}$$

Ota luvun 212 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{53}}{2}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{53}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{53}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2\sqrt{53}.

$$x=\frac{2\sqrt{53}+14}{2}$$

Jaa 14+2\sqrt{53} luvulla 2.

$$x=\sqrt{53}+7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{53}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{53} luvusta 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{53}}{2}$$

Jaa 14-2\sqrt{53} luvulla 2.

$$x=7-\sqrt{53}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{53}+7 x=7-\sqrt{53}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-14x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-14x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$x^{2}-14x=4$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=4+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=4+49$$

Lisää 4 lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=53$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=53$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{53}$$

Sievennä.

$$x-7=\sqrt{53} x-7=-\sqrt{53}$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{53}+7 x=7-\sqrt{53}$$