Ratkaise x^2-13x+42=1

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 13}{2} \approx 7,618033989$$

$$x = \frac{13 - \sqrt{5}}{2} \approx 5,381966011$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-13x+42=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-13x+42-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-13x+42-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 42.

$$x^{2}-13x+41=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -13 ja c luvulla 41 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 41}}{2}$$

Korota -13 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 41}}{2}$$

Kerro -4 ja 41.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-164}}{2}$$

Lisää 169 lukuun -164.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+13}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta 13.

$$x=\frac{13-\sqrt{5}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{5}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{5}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=1$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-13x+42-42=1-42$$

Kun luku 42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-13x=1-42$$

Vähennä 42 luvusta 1.

$$x^{2}-13x=-41$$

Jaa -13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{2}. Lisää sitten -\frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-41+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-41+\frac{169}{4}$$

Lisää -41 lukuun \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}-13x+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{13}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{5}}{2}$$