Ratkaise x^2-125x-375=0

$$x ^ { 2 } - 125 x - 375 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{685} + 125}{2} \approx 127,931261642$$

$$x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}\approx -2,931261642$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-125x-375=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -125 ja c luvulla -375 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{\left(-125\right)^{2}-4\left(-375\right)}}{2}$$

Korota -125 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{15625-4\left(-375\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -375.

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{15625+1500}}{2}$$

Lisää 15625 lukuun 1500.

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{17125}}{2}$$

Ota luvun 17125 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-125\right)±5\sqrt{685}}{2}$$

Luvun -125 vastaluku on 125.

$$x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 125 lukuun 5\sqrt{685}.

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5\sqrt{685} luvusta 125.

$$x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2} x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-125x-375=0$$

Lisää 375 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-125x-375-\left(-375\right)=-\left(-375\right)$$

Kun luku -375 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-125x=-\left(-375\right)$$

Vähennä -375 luvusta 0.

$$x^{2}-125x=375$$

Jaa -125 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{125}{2}. Lisää sitten -\frac{125}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-125x+\left(-\frac{125}{2}\right)^{2}=375+\left(-\frac{125}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{125}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-125x+\frac{15625}{4}=375+\frac{15625}{4}$$

Lisää 375 lukuun \frac{15625}{4}.

$$x^{2}-125x+\frac{15625}{4}=\frac{17125}{4}$$

Jaa x^{2}-125x+\frac{15625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{125}{2}\right)^{2}=\frac{17125}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17125}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{125}{2}=\frac{5\sqrt{685}}{2} x-\frac{125}{2}=-\frac{5\sqrt{685}}{2}$$

Lisää \frac{125}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2} x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$