Ratkaise x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -12 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Lisää 144 lukuun 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Ota luvun 180 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Jaa 12+6\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{5} luvusta 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Jaa 12-6\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Jaa -12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -6. Lisää sitten -6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Lisää 9 lukuun 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Jaa x^{2}-12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Sievennä.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$