Ratkaise x^2-115x=550

$$x ^ { 2 } - 115 x = 550$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{617} + 115}{2} \approx 119,598711742$$

$$x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}\approx -4,598711742$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-115x=550$$

Vähennä 550 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-115x-550=550-550$$

Kun luku 550 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-115x-550=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -115 ja c luvulla -550 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\left(-550\right)}}{2}$$

Korota -115 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\left(-550\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -550.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225+2200}}{2}$$

Lisää 13225 lukuun 2200.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{15425}}{2}$$

Ota luvun 15425 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±5\sqrt{617}}{2}$$

Luvun -115 vastaluku on 115.

$$x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 115 lukuun 5\sqrt{617}.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5\sqrt{617} luvusta 115.

$$x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2} x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x=550$$

Jaa -115 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{115}{2}. Lisää sitten -\frac{115}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=550+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{115}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=550+\frac{13225}{4}$$

Lisää 550 lukuun \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=\frac{15425}{4}$$

Jaa x^{2}-115x+\frac{13225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=\frac{15425}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15425}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{5\sqrt{617}}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{5\sqrt{617}}{2}$$

Lisää \frac{115}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2} x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$