Ratkaise x^2-11x=-30

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 30$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x=6$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 30 molemmille puolille.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin x^{2}-11x+30 käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-6 b=-5$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 30 molemmille puolille.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+30. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-6 b=-5$$

Kirjoita \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right) uudelleen muodossa x^{2}-11x+30.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -5.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-11x=-30$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=-30-\left(-30\right)$$

Kun luku -30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=0$$

Vähennä -30 luvusta 0.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -11 ja c luvulla 30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Kerro -4 ja 30.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Lisää 121 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±1}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 1.

$$x=\frac{12}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±1}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Jaa 10 luvulla 2.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-30$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Lisää -30 lukuun \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}-11x+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=5$$