Ratkaise x^2-11x=-28

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 28$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4$$

$$x=7$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 28 molemmille puolille.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-11x+28 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-11 ab=28$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -11.

$$a=-7 b=-4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 28 molemmille puolille.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+28. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -11.

$$a=-7 b=-4$$

Kirjoita \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right) uudelleen muodossa x^{2}-11x+28.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja -4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-7 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-11x=-28$$

Lisää 28 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)$$

Kun luku -28 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=0$$

Vähennä -28 luvusta 0.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -11 ja c luvulla 28 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Kerro -4 ja 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Lisää 121 lukuun -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±3}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Jaa 14 luvulla 2.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±3}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$x=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-28$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Lisää -28 lukuun \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-11x+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=4$$