Ratkaise x^2-11x+18=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x=9$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin x^{2}-11x+18 käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=18$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-9 b=-2$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-9\right)\left(x-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-9=0 ja x-2=0.

$$x=9 x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+18. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=1\times 18=18$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-9 b=-2$$

Kirjoita \left(x^{2}-9x\right)+\left(-2x+18\right) uudelleen muodossa x^{2}-11x+18.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-2x+18\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$x\left(x-9\right)-2\left(x-9\right)$$

Jaa yleinen termi x-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-9\right)\left(x-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-9=0 ja x-2=0.

$$x=9 x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-11x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -11 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 18}}{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 18}}{2}$$

Kerro -4 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-72}}{2}$$

Lisää 121 lukuun -72.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±7}{2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±7}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 7.

$$x=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$x=9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±7}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 11.

$$x=\frac{4}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9 x=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+18=0$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-11x+18-18=-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-11x=-18$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-18+\frac{121}{4}$$

Lisää -18 lukuun \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}-11x+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=9 x=2$$