Ratkaise x^2-105x+244=0

$$x ^ { 2 } - 105 x + 244 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{10049} + 105}{2} \approx 102,622350304$$

$$x = \frac{105 - \sqrt{10049}}{2} \approx 2,377649696$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-105x+244=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -105 ja c luvulla 244 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-105\right)±\sqrt{\left(-105\right)^{2}-4\times 244}}{2}$$

Korota -105 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-105\right)±\sqrt{11025-4\times 244}}{2}$$

Kerro -4 ja 244.

$$x=\frac{-\left(-105\right)±\sqrt{11025-976}}{2}$$

Lisää 11025 lukuun -976.

$$x=\frac{-\left(-105\right)±\sqrt{10049}}{2}$$

Luvun -105 vastaluku on 105.

$$x=\frac{105±\sqrt{10049}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{105±\sqrt{10049}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 105 lukuun \sqrt{10049}.

$$x=\frac{\sqrt{10049}+105}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{105±\sqrt{10049}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{10049} luvusta 105.

$$x=\frac{105-\sqrt{10049}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{10049}+105}{2} x=\frac{105-\sqrt{10049}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-105x+244=0$$

Vähennä 244 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-105x+244-244=-244$$

Kun luku 244 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-105x=-244$$

Jaa -105 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{105}{2}. Lisää sitten -\frac{105}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-105x+\left(-\frac{105}{2}\right)^{2}=-244+\left(-\frac{105}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{105}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-105x+\frac{11025}{4}=-244+\frac{11025}{4}$$

Lisää -244 lukuun \frac{11025}{4}.

$$x^{2}-105x+\frac{11025}{4}=\frac{10049}{4}$$

Jaa x^{2}-105x+\frac{11025}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{105}{2}\right)^{2}=\frac{10049}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{105}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10049}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{105}{2}=\frac{\sqrt{10049}}{2} x-\frac{105}{2}=-\frac{\sqrt{10049}}{2}$$

Lisää \frac{105}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10049}+105}{2} x=\frac{105-\sqrt{10049}}{2}$$