Ratkaise x^2-10x=-39

$$x ^ { 2 } - 10 x = - 39$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=5+\sqrt{14}i\approx 5+3,741657387i$$

$$x=-\sqrt{14}i+5\approx 5-3,741657387i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-10x=-39$$

Lisää 39 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-10x-\left(-39\right)=-39-\left(-39\right)$$

Kun luku -39 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-10x-\left(-39\right)=0$$

Vähennä -39 luvusta 0.

$$x^{2}-10x+39=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -10 ja c luvulla 39 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 39}}{2}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 39}}{2}$$

Kerro -4 ja 39.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-156}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -156.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-56}}{2}$$

Ota luvun -56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}i}{2}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{14}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{14}i}{2}$$

Jaa 10+2i\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=5+\sqrt{14}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{14}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{14} luvusta 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+10}{2}$$

Jaa 10-2i\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{14}i+5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i+5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x=-39$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-39+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=-39+25$$

Lisää -39 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=-14$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-14}$$

Sievennä.

$$x-5=\sqrt{14}i x-5=-\sqrt{14}i$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i+5$$