Ratkaise x^2-16/15x-1=0

$$x ^ { 2 } - \frac { 16 } { 15 } x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{16}{15} ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{16}{15}\right)±\sqrt{\left(-\frac{16}{15}\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota -\frac{16}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{16}{15}\right)±\sqrt{\frac{256}{225}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-\frac{16}{15}\right)±\sqrt{\frac{256}{225}+4}}{2}$$

Lisää \frac{256}{225} lukuun 4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{16}{15}\right)±\sqrt{\frac{1156}{225}}}{2}$$

Ota luvun \frac{1156}{225} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{16}{15}\right)±\frac{34}{15}}{2}$$

Luvun -\frac{16}{15} vastaluku on \frac{16}{15}.

$$x=\frac{\frac{16}{15}±\frac{34}{15}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{16}{15}±\frac{34}{15}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{16}{15} lukuun \frac{34}{15} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{\frac{10}{3}}{2}$$

Jaa \frac{10}{3} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{16}{15}±\frac{34}{15}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{34}{15} luvusta \frac{16}{15} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-\frac{\frac{6}{5}}{2}$$

Jaa -\frac{6}{5} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x=1$$

Jaa -\frac{16}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{8}{15}. Lisää sitten -\frac{8}{15}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x+\left(-\frac{8}{15}\right)^{2}=1+\left(-\frac{8}{15}\right)^{2}$$

Korota -\frac{8}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x+\frac{64}{225}=1+\frac{64}{225}$$

Lisää 1 lukuun \frac{64}{225}.

$$x^{2}-\frac{16}{15}x+\frac{64}{225}=\frac{289}{225}$$

Jaa x^{2}-\frac{16}{15}x+\frac{64}{225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{15}\right)^{2}=\frac{289}{225}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{225}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{8}{15}=\frac{17}{15} x-\frac{8}{15}=-\frac{17}{15}$$

Lisää \frac{8}{15} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{5}$$