Ratkaise x^2=x-30

$$x ^ { 2 } = x - 30$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{2}\approx 0,5+5,454356057i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{2}\approx 0,5-5,454356057i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-x=-30$$

Lisää 30 molemmille puolille.

$$x^{2}-x+30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla 30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 30}}{2}$$

Kerro -4 ja 30.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2}$$

Lisää 1 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{2} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-x=-30$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-30+\frac{1}{4}$$

Lisää -30 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{119}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{119}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{119}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{119}i}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{2} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{2}$$