Ratkaise x^2=x+3

$$x ^ { 2 } = x + 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{2} \approx 2,302775638$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1,302775638$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-x=3$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-3\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+12}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{13}}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{13} luvusta 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-x=3$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}$$

Lisää 3 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$