Ratkaise x^2=2x+1

$$x ^ { 2 } = 2 x + 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}$$

Jaa 2+2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 2-2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x=1$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Lisää 1 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$