Ratkaise x^2=-x^2+4x+1

$$x ^ { 2 } = - x ^ { 2 } + 4 x + 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{2}+1\approx 2,224744871$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1\approx -0,224744871$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}+x^{2}=4x+1$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}=4x+1$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-4x=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+8}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24}}{2\times 2}$$

Ota luvun 24 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{4±2\sqrt{6}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{6}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{6}+4}{4}$$

Jaa 4+2\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{6}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{6} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{6}}{4}$$

Jaa 4-2\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}+x^{2}=4x+1$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}=4x+1$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-4x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{2}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{2}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$