Ratkaise x^2+x-6=4x^2+3x+64

$$x ^ { 2 } + x - 6 = 4 x ^ { 2 } + 3 x + 64$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{209}i-1}{3}\approx -0,333333333-4,818944098i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{209}i}{3}\approx -0,333333333+4,818944098i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}+x-6-4x^{2}=3x+64$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$-3x^{2}+x-6=3x+64$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+x-6-3x=64$$

Selvitä -2x yhdistämällä x ja -3x.

$$-3x^{2}-2x-6=64$$

Vähennä 64 molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-2x-6-64=0$$

Vähennä 64 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -70.

$$-3x^{2}-2x-70=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -2 ja c luvulla -70 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-70\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\left(-70\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\left(-70\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -70.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-840}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 4 lukuun -840.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-836}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -836 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{209}i}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{209}i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{209}i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{209}i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{209}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{209}i}{-6}$$

Jaa 2+2i\sqrt{209} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{209}i-1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{209}i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{209} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{209}i+2}{-6}$$

Jaa 2-2i\sqrt{209} luvulla -6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{209}i}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{209}i-1}{3} x=\frac{-1+\sqrt{209}i}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}+x-6-4x^{2}=3x+64$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$-3x^{2}+x-6=3x+64$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+x-6-3x=64$$

Selvitä -2x yhdistämällä x ja -3x.

$$-3x^{2}-2x-6=64$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$-3x^{2}-2x=64+6$$

Selvitä 70 laskemalla yhteen 64 ja 6.

$$-3x^{2}-2x=70$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=\frac{70}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=\frac{70}{-3}$$

Jaa -2 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{70}{-3}$$

Jaa 70 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{70}{3}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{70}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{70}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää -\frac{70}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{209}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{209}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{209}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{209}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{209}i}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{209}i}{3} x=\frac{-\sqrt{209}i-1}{3}$$