Ratkaise x^2+90*x-6500=0

$$x ^ { 2 } + 90 \cdot x - 6500 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5\sqrt{341}-45\approx 47,330926563$$

$$x=-5\sqrt{341}-45\approx -137,330926563$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+90x-6500=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 90 ja c luvulla -6500 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-6500\right)}}{2}$$

Korota 90 neliöön.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-6500\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -6500.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+26000}}{2}$$

Lisää 8100 lukuun 26000.

$$x=\frac{-90±\sqrt{34100}}{2}$$

Ota luvun 34100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-90±10\sqrt{341}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±10\sqrt{341}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -90 lukuun 10\sqrt{341}.

$$x=\frac{10\sqrt{341}-90}{2}$$

Jaa -90+10\sqrt{341} luvulla 2.

$$x=5\sqrt{341}-45$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±10\sqrt{341}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{341} luvusta -90.

$$x=\frac{-10\sqrt{341}-90}{2}$$

Jaa -90-10\sqrt{341} luvulla 2.

$$x=-5\sqrt{341}-45$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5\sqrt{341}-45 x=-5\sqrt{341}-45$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+90x-6500=0$$

Lisää 6500 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+90x-6500-\left(-6500\right)=-\left(-6500\right)$$

Kun luku -6500 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+90x=-\left(-6500\right)$$

Vähennä -6500 luvusta 0.

$$x^{2}+90x=6500$$

Jaa 90 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 45. Lisää sitten 45:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+90x+45^{2}=6500+45^{2}$$

Korota 45 neliöön.

$$x^{2}+90x+2025=6500+2025$$

Lisää 6500 lukuun 2025.

$$x^{2}+90x+2025=8525$$

Jaa x^{2}+90x+2025 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+45\right)^{2}=8525$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+45\right)^{2}}=\sqrt{8525}$$

Sievennä.

$$x+45=5\sqrt{341} x+45=-5\sqrt{341}$$

Vähennä 45 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=5\sqrt{341}-45 x=-5\sqrt{341}-45$$