Ratkaise x^2+9x+28=0

$$x ^ { 2 } + 9 x + 28 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{31}i}{2}\approx -4,5+2,783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-9}{2}\approx -4,5-2,783882181i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+9x+28=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 9 ja c luvulla 28 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 28}}{2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 28}}{2}$$

Kerro -4 ja 28.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-112}}{2}$$

Lisää 81 lukuun -112.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-31}}{2}$$

Ota luvun -31 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±\sqrt{31}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{31}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{31}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{31}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{31} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-9+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+9x+28=0$$

Vähennä 28 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+9x+28-28=-28$$

Kun luku 28 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+9x=-28$$

Jaa 9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{2}. Lisää sitten \frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-28+\frac{81}{4}$$

Lisää -28 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{31}{4}$$

Jaa x^{2}+9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Vähennä \frac{9}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-9+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-9}{2}$$