Ratkaise x^2+8x=3

$$x ^ { 2 } + 8 x = 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{19}-4\approx 0,358898944$$

$$x=-\left(\sqrt{19}+4\right)\approx -8,358898944$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+8x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+8x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+8x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 8 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12}}{2}$$

Lisää 64 lukuun 12.

$$x=\frac{-8±\sqrt{76}}{2}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-8}{2}$$

Jaa -8+2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=\sqrt{19}-4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-8}{2}$$

Jaa -8-2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{19}-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{19}-4 x=-\sqrt{19}-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+8x=3$$

Jaa 8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 4. Lisää sitten 4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+8x+4^{2}=3+4^{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x^{2}+8x+16=3+16$$

Lisää 3 lukuun 16.

$$x^{2}+8x+16=19$$

Jaa x^{2}+8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=19$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Sievennä.

$$x+4=\sqrt{19} x+4=-\sqrt{19}$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{19}-4 x=-\sqrt{19}-4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{19}-4\approx 0,358898944$$

$$x=-\sqrt{19}-4\approx -8,358898944$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+8x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+8x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+8x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 8 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12}}{2}$$

Lisää 64 lukuun 12.

$$x=\frac{-8±\sqrt{76}}{2}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-8}{2}$$

Jaa -8+2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=\sqrt{19}-4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-8}{2}$$

Jaa -8-2\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{19}-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{19}-4 x=-\sqrt{19}-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+8x=3$$

Jaa 8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 4. Lisää sitten 4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+8x+4^{2}=3+4^{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x^{2}+8x+16=3+16$$

Lisää 3 lukuun 16.

$$x^{2}+8x+16=19$$

Jaa x^{2}+8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=19$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Sievennä.

$$x+4=\sqrt{19} x+4=-\sqrt{19}$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{19}-4 x=-\sqrt{19}-4$$