Ratkaise x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-15$$

$$x=8$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Vähennä 42 luvusta -78 saadaksesi tuloksen -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin x^{2}+7x-120 käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-8 b=15$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-8=0 ja x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Vähennä 42 luvusta -78 saadaksesi tuloksen -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-120. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-8 b=15$$

Kirjoita \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right) uudelleen muodossa x^{2}+7x-120.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 15.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Jaa yleinen termi x-8 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-8=0 ja x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Kun luku 42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Vähennä 42 luvusta -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 7 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Lisää 49 lukuun 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Ota luvun 529 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±23}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Jaa 16 luvulla 2.

$$x=8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±23}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 23 luvusta -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Jaa -30 luvulla 2.

$$x=-15$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=8 x=-15$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Lisää 78 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Kun luku -78 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Vähennä -78 luvusta 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Lisää 120 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=8 x=-15$$