Ratkaise x^2+7x-4=0

$$x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{2}\approx 0,531128874$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{2}\approx -7,531128874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+7x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 7 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-4\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2}$$

Lisää 49 lukuun 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{65} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$x^{2}+7x=4$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=4+\frac{49}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{65}{4}$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{2}$$