Ratkaise x^2+6x+15=0

$$x ^ { 2 } + 6 x + 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{6}i\approx -3+2,449489743i$$

$$x=-\sqrt{6}i-3\approx -3-2,449489743i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+6x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 15}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 15}}{2}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-60}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -60.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-24}}{2}$$

Ota luvun -24 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{6}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{6}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{6}i}{2}$$

Jaa -6+2i\sqrt{6} luvulla 2.

$$x=-3+\sqrt{6}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{6}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{6} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i-6}{2}$$

Jaa -6-2i\sqrt{6} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{6}i-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3+\sqrt{6}i x=-\sqrt{6}i-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+6x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+6x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+6x=-15$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-15+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=-15+9$$

Lisää -15 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=-6$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-6}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{6}i x+3=-\sqrt{6}i$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3+\sqrt{6}i x=-\sqrt{6}i-3$$