Ratkaise x^2+5x-14quadtext{2}quad3x^2+20x+25

$$x ^ { 2 } + 5 x - 14 \quad \text { 2 } \quad 3 x ^ { 2 } + 20 x + 25$$

Laske

$$25+25x-83x^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro 14 ja 2, niin saadaan 28.

$$x^{2}+5x-28\times 3x^{2}+20x+25$$

Kerro 28 ja 3, niin saadaan 84.

$$x^{2}+5x-84x^{2}+20x+25$$

Selvitä -83x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -84x^{2}.

$$-83x^{2}+5x+20x+25$$

Selvitä 25x yhdistämällä 5x ja 20x.

$$-83x^{2}+25x+25$$

Jaa tekijöihin

$$-83\left(x-\frac{25-5\sqrt{357}}{166}\right)\left(x-\frac{5\sqrt{357}+25}{166}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 14 ja 2, niin saadaan 28.

$$factor(x^{2}+5x-28\times 3x^{2}+20x+25)$$

Kerro 28 ja 3, niin saadaan 84.

$$factor(x^{2}+5x-84x^{2}+20x+25)$$

Selvitä -83x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -84x^{2}.

$$factor(-83x^{2}+5x+20x+25)$$

Selvitä 25x yhdistämällä 5x ja 20x.

$$factor(-83x^{2}+25x+25)$$

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-83x^{2}+25x+25=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-83\right)\times 25}}{2\left(-83\right)}$$

Korota 25 neliöön.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-83\right)\times 25}}{2\left(-83\right)}$$

Kerro -4 ja -83.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+332\times 25}}{2\left(-83\right)}$$

Kerro 332 ja 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+8300}}{2\left(-83\right)}$$

Lisää 625 lukuun 8300.

$$x=\frac{-25±\sqrt{8925}}{2\left(-83\right)}$$

Ota luvun 8925 neliöjuuri.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{357}}{2\left(-83\right)}$$

Kerro 2 ja -83.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{357}}{-166}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±5\sqrt{357}}{-166}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -25 lukuun 5\sqrt{357}.

$$x=\frac{5\sqrt{357}-25}{-166}$$

Jaa -25+5\sqrt{357} luvulla -166.

$$x=\frac{25-5\sqrt{357}}{166}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±5\sqrt{357}}{-166}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5\sqrt{357} luvusta -25.

$$x=\frac{-5\sqrt{357}-25}{-166}$$

Jaa -25-5\sqrt{357} luvulla -166.

$$x=\frac{5\sqrt{357}+25}{166}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{25-5\sqrt{357}}{166} kohteella x_{1} ja \frac{25+5\sqrt{357}}{166} kohteella x_{2}.

$$-83x^{2}+25x+25=-83\left(x-\frac{25-5\sqrt{357}}{166}\right)\left(x-\frac{5\sqrt{357}+25}{166}\right)$$