Ratkaise x^2+5x+14=0

$$x ^ { 2 } + 5 x + 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}\approx -2,5+2,783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}\approx -2,5-2,783882181i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+5x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 5 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 14}}{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 14}}{2}$$

Kerro -4 ja 14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-56}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-31}}{2}$$

Ota luvun -31 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{31} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+14=0$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+5x+14-14=-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+5x=-14$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-14+\frac{25}{4}$$

Lisää -14 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{31}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$